Статья «ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ, "Известия Российской академии наук. Механика твердого тела"»

В статье исследуются задачи статической и динамической устойчивости тонкого гибкого стержня под действием осевого сжатия с точным учетом геометрической нелинейности. При статическом действии силы, критическая нагрузка и формы изгиба стержня найдены Л. Эйлером. В работах М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского установлено, что при динамическом нагружении стержня, существенно превосходящем Эйлерову статическую критическую нагрузку, появляются формы потери устойчивости с большим числом волн в продольном направлении. При этом, первый, Эйлеров порог нагрузки был назван М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским - статическим, а последующие - динамическими порогами потери устойчивости, которые могут быть достигнуты при ударном приложении нагрузки, когда время нарастания импульса меньше времени релаксации системы. В дальнейшем, механизм потери устойчивости в этом случае и возникающий параметрический резонанс были подробно исследованы академиком Н.Ф. Морозовым с коллегами. В настоящей статье дополнен и развит подход исследования динамических стержневых систем, предложенный академиком РАН Н.Ф. Морозовым, в части построения точных и приближенных аналитических решений с помощью систем специальных функций, обобщающих эллиптические функции Якоби. Найдены приближенные аналитические решения нелинейной динамической задачи деформирования гибкого стержня при продольном нагружении с учетом краевых условий, и показано, что аналитическое решение статических задач устойчивости стержневых систем в геометрически нелинейной постановке позволяет находить точно всевозможные формы изогнутого стержня и полную систему порогов потери устойчивости. Исследование приближенных аналитических решений динамических задач нелинейных колебаний стержневых систем, нагруженных сосредоточенными силами, после потери ими устойчивости, в деформированном состоянии, позволяет находить частоты колебаний и в дальнейшем пороги параметрического резонанса.